23.解:(1)当a=-1时,f(x)=|3x+1|-2.由|3x+1-2≤5,整理得-7≤3x+1≤7,……2分解得-≤x≤2,因此不等式f(x)≤5的解集为{x-≤x≤21分(2)当x∈R时,f(x)+3g(x)=|3x-a|+2a+|3x-3≥|3x-a-3x+3|+2a=|3-a|+2a6分当x=1时等号成立,所以当x∈R时,f(x)+3g(x)≥9等价于|3-a|+2a≥9.①7分当a≤3时,①等价于a+3≥9,无解;……8分当a>3时,①等价于a-3+2a≥9,解得a≥49分所以a的取值范围是[4,+∞)10分评分细则:(1)第一问中,在求不等式∫(x)≤5的解集时,去掉绝对值得2分,第一问全部正确得4分.(2)第二问中,写出f(x)+3g(x)的最小值得2分,后续步骤每讨论一种情况各得2分.
21.(1)解:因为g(x)=xlnx-ax+1(x>0),所以g'(x)=lnx+1-a(x>0)令g'(x)>0,得x>e-1;令g'(x)<0,得0
0,g(x)没有零点;…当a>1时,g(e1)=1-e<0,g(e)=ae"-ae+1=1>0,所以g(x)在(e,+∞)上有唯一的零点,又g(-)=-a--ae·+1=二2>2>0,所以g(x)在(0,-)上有唯一的零点综上所述,当a=1时,g(x)有且只有一个零点;当a<1时,g(x)没有零点;当a>1时,g(x)有两个零点5分(2)证明:由(1)知,当a=1时,g(x)≥g(x)-=0,即xlnx≥x-16分要证xhnx3inx-csx2,需证xnx≥x-172+cosx-1,需证x>35nx2+cosx(x>0),即证2x+ .rcos a-3sinx>0(x>0).7分it h(x)=art rcos x-3sin x(x>o).当x≥π时,h(x)=2x+xosx-3sinx=x(1+cosx)+x-3sinx>x-3>0.…8分当0
0,所以t(x)在(0,x)上为增函数,t(x)=sinx- rcos a>t(0)=0,10分所以t(x)在(0,x)上为增函数,(x)=h(x)>h(0)=0,所以h(x)在(0,x)上为增函数,h(x)>h(0)=011分故f(x)>3sin r-cos r2+cos x成立12分评分细则:(1)第一问中,写出g(x)的最小值得2分,之后每讨论一种情况得1分(2)第二问中,证出xlnx≥x-1累计得6分转化出要证的不等式累计得7分,当x≥x时,证出要证的不等式累计得8分,正确解完本题得满分(3)采用其他方法,参照本评分标准依步骤给分
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