英语周报2018~2022第十九期答案

19.【关键能力】本题考查逻辑思维能力、空间想象能力、运算求解能力【学科素养】试题以直四棱柱为载体,对空间几何体中的线面垂直二面角的余弦值进行了考查,第(1)问需要根据直四棱柱的特征推出垂直关系,进而证得结论,第(2)问需要考生建立合适的空间直角坐标系,利用向量法求二面角的余弦值,体现了理性思维、数学探索学科素养【解题思路】(1)四边形ABCD为平行四边形→AB=CDBD=BC=2,AB=2/2→BC⊥BD直四棱柱ABCD-A1B1C1D1→→BB1⊥BD,B→BD⊥平面BCCBBD⊥BM连接CB1→△BCM△B1BC→∠MBC=∠BCBM⊥平面ABD∠CBM+∠B1BM=9°A,D∥B1C→BM⊥BC→BM⊥A1D(2)以D为坐标原点建立合适的空间直角坐标系→相关点的坐标→相向量的夹角公式关向量的坐标→平面A1BD,平面BDC1的法向量→结果解:(1)因为四边形ABCD为平行四边形,所以AB=CD,又BD=BC2,AB=22,所以CD2=BC2+BD2,所以BC⊥BD(1分)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,易得B1⊥BD又BB1∩BC=B,所以BD⊥平面BCC1B1,所以BD⊥BM(2分)MC连接CB1,因为BC=B=2,所以△BCM∽△B,BC,则∠MBC=∠BB1C又∠CBM+∠B1BM=90°,所以∠B1BM+∠BB1C=90°,所以BM⊥B1C由直四棱柱的特征易知A1D∥B1C,所以BM⊥A1D(4分)又BD∩A1D=D,所以BM⊥平面A1BD(5分)(2)由(1)可知,可以以D为坐标原点,DA,DB,DD1所在直线分别为xy,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(0,2,0),M(-2,2,2),设平面的法向量为=(x,C1(-2,2,22)所以BC=(-2,0,22),D=(0,2,0),(6分)2x1+221=0则.=0令x1=√2,则x1=2,即a=(2,0,2).(8分)由(1)可知平面A1BD的一个法向量为BM=(-2,0,2),(9分)所以cs,BM)=·Blull Bmi(11分)由图可知,二面角A1-BD-C1的平面角为锐角,所以其余弦值为(12分解后反思》求解立体几何问题时,要善于利用题目所给数据,由“定量”的数据关系“算”出“定性”的平行、垂直关系,为建立空间直角坐标系提供有力“情境”支持.求二面角问题,一般先要找出两个平面的法向量,通过法向量的夹角来刻画二面角,也就是说,不能简单地认为法向量的夹角就是所求的二面角的平面角,要结合图形的基本特征,正确判断出二面角的平面角与法向量的夹角之间的关系,再得出相应结论

13.ABCD

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