2018-2022英语周报第3535期答案

19.解:(1)设右焦点为(c,0),因为椭圆E的右焦点到直线x-y+√2=0的距离为3所以c+21=3,解得c=2(2分)因为椭圆E的离心率为22,所以二223所以a=3,所以b=√a2-c2=1.故椭圆E的方程为+y2=1.灬··5(5分)(2)当直线的斜率为0时,不适合题意;当直线的斜率不为0时,设过点R(t,0)的动直线方程为x=my+由题意知t≠0,t≠士3ny联立方程组+y2=1化简整理得(m2+9)y2+2mty+(t2-9)=0,(6分)设A(x1,y),B(x2,y2),N(n,0),所以B'(x2,-y2),△>0→m2+9-t2>0,2mt且y1+y2=÷n246,y1·y299(8分)又因为A,B,N三点共线,所以_y=为+:(9分)化简得:n(y1+y2)=x1y2+y1x2=(my1+t)y2+y1(my2+t)=2myy2+(y1+y2)t,所以n=2m12+t=2mn2+9+t=2m=2mtt=9,(1分2mt+9所以!QR|·ON=1xt=9定值).(12分)

10.解:(1)由題意得:函数y=f(x)的定义域为(0,+∞)则f(x)=(=1-a(1-1)(x-1)(x>0)(4分)当a≤0时,e-ax>0,当x∈(0,1)时,f(x)<0,函数y=f(x)单调递减当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,函数y=f(x)单调递增∴∫(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞)(8分)(2)由(1)知,当a≤0时,f(x)在区间(0,1)上单调递减,f(x)在区间(0,1)上不存在极值点,(10分)当a>0时,要使f(x)在区间(0,1)上存在唯一极值点则f(x)(x-1)(ax=0在区间(0,1)上存在唯一变号零点,即方程e-ax=0在区间(0,1)上存在唯一解,即y与y=a在区间(0,1)上有唯一交点.(14分)设函数g(x)=s,x∈(0,1),则g(1)C<0g(x)在区间(0,1)上单调递减(18分)又g(x)>g(1)=e,当x→0时,g(x)→+∞,∴a∈(e,+∞)时,y=-与y=a在区间(0,1)上有唯一交点综上所述,实数a的取值范围为(e,+∞).(20分)

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