23.【证明】(1)∵a,b、为正数,a+b+c=1,k+共+5(2a+2b+2c)(++=[(a+b)+(b+x)+(a+c)](+a+h≥÷×3×√(a千6·78+)·7a+x5×3×,>,-号当且仅当a=b=(=时,等号成立be(2)由+“≥2·-2+的>2,5=2+/,-2将上连三个不等式相加得2+苦+)≥2++,而a+b+(=1∴++≥1,当且仅当a=b=c=立时,等号成立,
r-H21.【解析】(1)定义域为(-1,+c),f(x)=(x当k≤0时,(x)>0,所以函数f(x)在(-1,+3)上单调递增,无极值当k>0时,f(x)>0,得x>k-1;/(x)<0,得一1
0时,函数f(x)有极小值为1nk一k+2,无极大值(2)当x>0时,(x)>0恒成立,即只需f(x)m>0成立即可由(1)可知当k>0时,函数f(x)在(-1,k-1)上单调递减,在(k-1,+∞)上单调递增(1)若k一1≤0,即0
f(0)=1满足题意()若k-1>0,即k>1时,函数f(x)在(0,k-1)上单调递减,在(k-1,+∞)上单调递增,所以f(x)m=f(k-1)=lnk-k+2>0.令g(x)=1x-x+2(x>1),g(x)=1-x<0,所以g(x)在(1,+∞)上单调递减,又知g(2)=ln2>0,k(3)=ln3-1>0,g(4)=ln4-2<0,所以彐xa∈(3,4)使得g(xn)=0则g(x)=lnx-x+2>0的解集为(1,xn)综上:正数的取值范围为,(0)e(34),所以正整数k的最大值为3②证明:两边取对数得1m(1+1×2)(1+2×3)…[1+(n+1)]>2n-n即只需证1(1+1×2)+1(1+2×3)+…+1n[1+x(n+1)]>2-由①知ln(x+1)>令x=nx(n+1),则ln[n(an+1)+1]>2-n(n+1)+12n(n+=2-(3所以1n(1+1×2)+1n(1+2×3)+…+ln[1+n(n+1)]>2-3(1-1+2-3+3所以(1+1×2)(1+2×3)…[1+n(n+1)]>e南
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